求 x³ sin(7x⁴ + 3) dx 的积分。

Step-by-step solution

1. 1

   该选换元，而不是分部积分。 一见乘积就想分部积分是本能反应，但这里外层因子 $x^{3}$ 恰好（差一个常数）就是正弦里面那一部分的导数。这正是该用 $u$ 换元的标志，用分部积分只会把积分越弄越糟。

2. 2

   设好换元。 令

   $u=7x^{4}+3\qquad\Longrightarrow\qquad du=28x^{3}\,dx\qquad\Longrightarrow\qquad x^{3}\,dx=\frac{du}{28}$

   常数 $\tfrac1{28}$ 正是用来吸收 $x^{3}$ 与 $28x^{3}$ 之间那点差额的。

3. 3

   把积分完全改写成 $u$ 的形式。

   $\int x^{3}\sin\!\left(7x^{4}+3\right)dx=\frac{1}{28}\int\sin u\,du$

   式子里一个 $x$ 都不剩，这就是换元选对了的检验标志。

4. 4

   积分后再换回去。 由于 $\displaystyle\int\sin u\,du=-\cos u$：

   $\frac{1}{28}\left(-\cos u\right)+C=-\frac{\cos\!\left(7x^{4}+3\right)}{28}+C$

   那个负号来自正弦的原函数，也是这里最容易被漏掉的东西。

5. 5

   求导验证。 由链式法则，

   $\frac{d}{dx}\left[-\frac{\cos\!\left(7x^{4}+3\right)}{28}\right]=\frac{\sin\!\left(7x^{4}+3\right)\cdot28x^{3}}{28}=x^{3}\sin\!\left(7x^{4}+3\right)\ \checkmark$

   在 $x=0.4$、$0.9$、$1.3$ 处的数值导数也在 $10^{-5}$ 以内吻合 ✓。那个 $28$ 恰好被约掉，这正是当初把常数取成它的全部理由。