解方程组 x″ + y″ = t²、x″ − y″ = 4t，初始条件为 x(0) = 8、x′(0) = 0、y(0) = 0、y′(0) = 0。

Step-by-step solution

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   用相加、相减把方程组解耦。 这两个方程里只出现 $x''$ 与 $y''$ 的和与差，所以做线性组合就能立刻把它们分开 —— 既不需要拉普拉斯变换，也不需要矩阵方法：

   $\text{相加：} 2x'' = t^2 + 4t, \qquad \text{相减：} 2y'' = t^2 - 4t$

   于是

   $x'' = \tfrac{1}{2}t^2 + 2t, \qquad y'' = \tfrac{1}{2}t^2 - 2t$

2. 2

   对 x″ 积分一次，并代入 x′(0) = 0。

   $x' = \frac{t^3}{6} + t^2 + C_1$

   令 $t = 0$ 得 $0 = C_1$，所以

   $x' = \frac{t^3}{6} + t^2$

   每出现一个常数就马上用对应的条件定掉它，这样两个常数不会搞混。

3. 3

   再积分一次，并代入 x(0) = 8。

   $x = \frac{t^4}{24} + \frac{t^3}{3} + C_2, \qquad C_2 = 8$

   $x(t) = \frac{t^4}{24} + \frac{t^3}{3} + 8$

4. 4

   对 y 重复一遍，两个初值都是零。

   $y' = \frac{t^3}{6} - t^2 + C_3, \qquad y'(0) = 0 \Rightarrow C_3 = 0$

   $y = \frac{t^4}{24} - \frac{t^3}{3} + C_4, \qquad y(0) = 0 \Rightarrow C_4 = 0$

   $y(t) = \frac{t^4}{24} - \frac{t^3}{3}$

   $y$ 与 $x$ 的区别只在三次项的符号和那个常数 $8$ —— 正是 $\pm 4t$ 带进来的那一点不对称。

5. 5

   验证两个微分方程和全部四个初始条件。 求两次导数：

   $x'' = \frac{t^2}{2} + 2t, \qquad y'' = \frac{t^2}{2} - 2t$

   $x'' + y'' = t^2 \ \checkmark, \qquad x'' - y'' = 4t \ \checkmark$

   在 $t = 0$ 处：$x = 8$，$x' = 0$，$y = 0$，$y' = 0$ —— 四个全部吻合。顺带看一下那两个解耦后的组合：$x - y = \frac{2t^3}{3} + 8$，$x + y = \frac{t^4}{12} + 8$。