证明：若 f(x) 在 [a, b] 上黎曼可积，则当 p 趋于无穷时，f(x)cos(px) 从 a 到 b 的积分趋于 0。

Step-by-step solution

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   挑对用来逼近的函数类。 黎曼可积的 $f$ 是有界的，而且能被阶梯函数上下夹住，所以对每个 $\varepsilon>0$ 都存在阶梯函数 $\varphi$ 使得 $\int_a^b\left|f(x)-\varphi(x)\right|dx<\varepsilon .$ 这里对某个划分 $a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$，在每个 $(x_{k-1},x_k)$ 上取 $\varphi(x)=c_k$。之所以选阶梯函数，是因为 $\int\cos(px)$ 在一个区间上能被精确写出来。

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   把阶梯函数的情形精确算完。 在每一小段上，$\int_{x_{k-1}}^{x_k}\cos(px)\,dx=\frac{\sin(px_k)-\sin(px_{k-1})}{p},$ 所以 $\int_a^b\varphi(x)\cos(px)\,dx=\frac1p\sum_{k=1}^{n}c_k\left[\sin(px_k)-\sin(px_{k-1})\right].$

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   把阶梯情形用 1/p 估出上界。 每个方括号的绝对值最大是 $2$，所以 $\left|\int_a^b\varphi(x)\cos(px)\,dx\right|\le\frac{2}{p}\sum_{k=1}^{n}|c_k| .$ 一旦 $\varepsilon$ 选定，划分就固定了，于是这个和是一个常数，整个上界在 $p\to\infty$ 时趋于 $0$。振荡正是在这里出力：每个小区间内部相邻部分的相互抵消，恰好换来一个 $1/p$ 的因子。

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   把一般情形的积分拆成主项和误差项。 写成 $\int_a^b f\cos(px)\,dx=\int_a^b \varphi\cos(px)\,dx+\int_a^b (f-\varphi)\cos(px)\,dx .$ 由于 $|\cos(px)|\le 1$，第二块满足 $\left|\int_a^b (f-\varphi)\cos(px)\,dx\right|\le\int_a^b|f-\varphi|\,dx<\varepsilon$ 而且这个界对 $p$ 是一致的。

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   把两个估计合起来。 由上一步，存在 $P$ 使得当 $p>P$ 时 $\left|\int_a^b\varphi\cos(px)\,dx\right|<\varepsilon$。于是对一切 $p>P$ 都有 $\left|\int_a^b f\cos(px)\,dx\right|<2\varepsilon$。由于 $\varepsilon>0$ 是任取的，这个极限就是 $0$。把同样的论证用到 $\sin(px)$ 上会得到正弦版本，两者合起来就是黎曼-勒贝格引理。