计算 √(1 + tan²(0.661)·sin²(b)) 关于 b 从 0 到 π/2 的积分。

Step-by-step solution

1. 1

   先认出被积函数的形状。 第二类完全椭圆积分是

   $E(k)=\int_0^{\pi/2}\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}\;d\theta$

   而我们的被积函数里是加号，所以对应的是 $k^2=-\tan^2(0.661)$ —— 参数为负，等价地说模数是虚数 $k=i\tan(0.661)$。

2. 2

   把这个常数一次算准。 后面每一步都依赖这个数：

   $\tan(0.661)=0.7777085,\qquad \tan^2(0.661)=0.6048305$

   （角度 $0.661$ 是弧度。在这里当成角度来算，是算错答案最常见的原因。）

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   把数值代回，重写积分。

   $I=\int_0^{\pi/2}\sqrt{1+0.6048305\,\sin^2 b}\;db=E\!\left(-0.6048305\right)$

   这里的 $E$ 采用以参数 $m=k^2$ 为自变量的写法。

4. 4

   动手算之前先把答案夹住。 因为 $0\le\sin^2 b\le 1$，被积函数介于 $1$ 与 $\sqrt{1.6048305}=1.2668$ 之间。乘上区间长度 $\pi/2=1.5708$，得到

   $1.5708\le I\le 1.9899$

   任何落在这个窗口之外的数值结果都是错的。

5. 5

   做数值计算。 在 $[0,\pi/2]$ 上用细网格的复合辛普森公式，收敛到

   $I\approx 1.7865275$

   它稳稳落在 $[1.5708,1.9899]$ 之内，且略高于中点——这也在意料之中，因为 $\sin^2 b$ 在区间上取值靠近 $1$ 的时间比线性加权所暗示的更多。