求 sin²(x)·cos³(x) 关于 x 的积分。

Step-by-step solution

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   先看谁是奇次幂。 余弦的次数 $3$ 是奇数。只要两个三角因子中有一个的指数是奇数，这个因子就能拿出来充当换元用的微分，因此完全不需要递推公式。

2. 2

   拆出一个余弦。 写成 $\cos^3 x=\cos^2 x\cdot\cos x$，于是积分变为 $\int\sin^2 x\,\cos^2 x\,\cos x\,dx$。

3. 3

   把剩下的偶次部分换掉。 用平方关系 $\cos^2 x=1-\sin^2 x$，被积式成为 $\int\sin^2 x\left(1-\sin^2 x\right)\cos x\,dx$。现在整个式子都是 $\sin x$ 的函数再乘上 $\cos x\,dx$。

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   令 $u=\sin x$ 换元。 则 $du=\cos x\,dx$，积分立刻退化成多项式 $\int u^2\left(1-u^2\right)du=\int\left(u^2-u^4\right)du$。

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   积分后换回原变量。 $\frac{u^3}{3}-\frac{u^5}{5}+C=\frac{\sin^3 x}{3}-\frac{\sin^5 x}{5}+C$。

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   数值检验。 用这个原函数在 $0$ 到 $1$ 上求值得 $0.11423043$，对原被积函数在同一区间上用辛普森法数值积分也得到 $0.11423043$——两者一致。