求 f(x) = x³ − 3x² + 2x 的导数，并计算它在区间 [0, 3] 上的定积分。

Step-by-step solution

1. 1

   用幂函数求导法则逐项求导。 因为 $\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$，而且求导是线性运算，所以每一项都可以单独处理：

   $\frac{d}{dx}\left(x^3\right)=3x^2,\qquad \frac{d}{dx}\left(-3x^2\right)=-6x,\qquad \frac{d}{dx}(2x)=2$

   于是

   $f'(x)=3x^2-6x+2$

2. 2

   为定积分找一个原函数。 把幂函数求导法则反过来用，指数加一再除以新的指数：

   $F(x)=\frac{x^4}{4}-x^3+x^2$

   这里故意不写积分常数：在定积分里它会在相减时抵消掉，所以随便取一个原函数都行。顺手验一下：$F'(x)=x^3-3x^2+2x=f(x)$。

3. 3

   用微积分基本定理（牛顿–莱布尼茨公式）。

   $\int_0^3 f(x)\,dx=F(3)-F(0)$

   $F(3)=\frac{81}{4}-27+9=\frac{81}{4}-18=\frac{81-72}{4}=\frac{9}{4}$

   $F(0)=0$

   所以积分等于 $\dfrac{9}{4}=2.25$。

4. 4

   注意这是有向面积，不是总面积。 因式分解得 $f(x)=x(x-1)(x-2)$，曲线在 $x=0,1,2$ 处穿过横轴：在 $(0,1)$ 上为正，在 $(1,2)$ 上为负，在 $(2,3)$ 上又为正。定积分是把这几块带着符号加起来，所以它比曲线与横轴之间的几何面积要小。

5. 5

   在根处拆开验证。 还是用同一个 $F$：

   $\int_0^1 f=F(1)-F(0)=\frac14,\qquad \int_1^2 f=F(2)-F(1)=0-\frac14=-\frac14,\qquad \int_2^3 f=F(3)-F(2)=\frac94-0=\frac94$

   相加：$\tfrac14-\tfrac14+\tfrac94=\tfrac94$，与第 3 步一致。（如果要的是不带符号的面积，那就是 $\tfrac14+\tfrac14+\tfrac94=\tfrac{11}{4}$。）