求函数 f(x, y, z) = 3x⁴yz³ 的梯度在直角坐标系单位向量 i、j、k 方向上的分量。

Step-by-step solution

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   先弄清「沿 $\mathbf{i}$ 的分量」是什么意思。 对单位向量 $\mathbf{u}$，$\nabla f$ 沿 $\mathbf{u}$ 的分量是 $\nabla f\cdot\mathbf{u}$，它也就是方向导数 $D_{\mathbf{u}}f$。而 $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ 正是坐标轴本身，所以这三个点积就是三个偏导数：

   $\nabla f=\frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{k}.$

   所以根本不用去算点积——题目归结为三个一元求导。

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   对 $x$ 求导，把 $y$ 和 $z$ 冻住。 这时因子 $3yz^{3}$ 是常数，只对 $x^{4}$ 求导：

   $\frac{\partial f}{\partial x}=3yz^{3}\cdot 4x^{3}=12x^{3}yz^{3}.$

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   对 $y$ 求导。 此时 $3x^{4}z^{3}$ 是常数，而 $y$ 是一次的，导数为 $1$：

   $\frac{\partial f}{\partial y}=3x^{4}z^{3}.$

   注意 $y$ 彻底消失了——这是个方便的自检，因为 $f$ 关于 $y$ 本来就是线性的。

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   对 $z$ 求导。 把 $3x^{4}y$ 固定住，对 $z^{3}$ 用幂函数求导法则：

   $\frac{\partial f}{\partial z}=3x^{4}y\cdot 3z^{2}=9x^{4}yz^{2}.$

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   把梯度拼起来，并做一致性检验。 把三个结果收拢，

   $\nabla f=\langle 12x^{3}yz^{3},\;3x^{4}z^{3},\;9x^{4}yz^{2}\rangle.$

   每个分量的总次数都是 $7$，恰好在被求导的那个变量上降了一次——对一个 $8$ 次单项式来说正该如此。等价地，$x f_x + y f_y + z f_z = (4+1+3)f = 8f$，这正是 $8$ 次齐次函数的欧拉恒等式。