解微分方程 dy/dx = ky，其中 k 是常数。

Step-by-step solution

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   先认出这个模型。 这个方程说的是变化率与当前的量成正比 —— 人口增长、放射性衰变、连续复利、牛顿冷却定律背后都是它。把它解一次，就等于把这些全解了。

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   分离变量。 两边除以 $y$ 要求 $y \ne 0$，这一点先记下，后面再回来处理：

   $\frac{dy}{y} = k\,dx$

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   两边积分。

   $\int \frac{1}{y}\,dy = \int k\,dx \quad\Longrightarrow\quad \ln|y| = kx + C_0$

   绝对值是必须的，因为在零的两侧 $\tfrac{1}{y}$ 的原函数都是 $\ln|y|$。

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   取指数，把常数吸收进去。

   $|y| = e^{kx + C_0} = e^{C_0}e^{kx}$

   记 $A = e^{C_0} > 0$，再允许 $C = \pm A$ 来承担 $y$ 的符号，于是变成

   $y = Ce^{kx}$

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   把被排除的那个解找回来。 除以 $y$ 时排除了 $y \equiv 0$，但这个常值函数其实是满足方程的 —— 而它正好由 $C = 0$ 给出。所以只要允许 $C$ 取任意实数，$y = Ce^{kx}$ 就是完整的通解，一个解都不漏。

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   验证并读出它的行为。 求导得 $y' = Cke^{kx} = k\left(Ce^{kx}\right) = ky$。若给定初始条件 $y(0) = y_0$，则 $C = y_0$，于是 $y = y_0e^{kx}$：$k > 0$ 时增长，$k < 0$ 时衰减，$k = 0$ 时是常数。当 $k > 0$ 时，倍增时间是 $\tfrac{\ln 2}{k}$。