求 y = 5cos(3x²) 关于 x 的导数。

Step-by-step solution

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   先认出这是复合函数。 这是一个余弦，但括号里不是单纯的 $x$，所以必须用链式法则。把它剥成几层：常数因子 $5$、外层函数 $\cos(u)$、内层函数

   $u=3x^{2}$

   把 $\cos(3x^{2})$ 当成 $\cos x$ 来求导、只写出 $-\sin(3x^{2})$，正是链式法则要防的那个错。

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   把常数提到外面。 常数因子可以直接穿过求导运算：

   $\frac{dy}{dx}=5\cdot\frac{d}{dx}\left[\cos\!\left(3x^{2}\right)\right]$

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   对外层求导，括号里的内容原样不动。 由 $\frac{d}{du}\cos u=-\sin u$，链式法则给出

   $\frac{d}{dx}\cos u=-\sin(u)\cdot\frac{du}{dx}$

   $\sin$ 的自变量始终保持是 $3x^{2}$——内层函数绝不会在正弦里面被求导。

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   对内层求导再相乘。 由幂函数求导法则 $\dfrac{du}{dx}=\dfrac{d}{dx}\left(3x^{2}\right)=6x$，所以

   $\frac{dy}{dx}=5\cdot\left[-\sin\!\left(3x^{2}\right)\right]\cdot6x=-30x\sin\!\left(3x^{2}\right)$

   $5$、$-1$、$6$ 这三个数字因子并成一个系数 $-30$。

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   数值验证。 取步长 $h=10^{-6}$ 的中心差商 $\frac{y(x+h)-y(x-h)}{2h}$，在 $x=0.4$、$1.1$、$2.0$ 处与 $-30x\sin(3x^{2})$ 的误差都在 $10^{-5}$ 以内 ✓。结构上也说得通：$x=0$ 处导数为 $0$，这是对的，因为 $y=5\cos(3x^{2})$ 在那里取到极大值。