一名学生把 x 的 7 次方 dx 的积分写成 x 的 8 次方除以 3，再加 7。请正确求出原函数并解释错在哪里。

Step-by-step solution

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   先把幂函数积分公式说准。 对每一个指数 $n\neq -1$ 都有

   $\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$

   这里发生的是两件独立的事：指数升高一次，然后整项除以那个新的指数 $n+1$——不是除以旧指数，也不是除以别的什么东西。

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   代入 $n=7$。 新指数是 $7+1=8$，所以

   $\int x^7\,dx=\frac{x^8}{8}+C$

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   指出他那个式子里两个各自独立的错误。 在 $\frac{x^8}{3}+7$ 里，指数 $8$ 是对的，但（一）分母本该是 $8$，那个 $3$ 是凭空冒出来的；（二）常数被写成了具体的数 $7$，而原函数必须带一个任意常数 $C$——$C$ 取任何值都给出一个合法的原函数。

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   对他的答案求导，直接证明它不对。 求导是检验任何积分的现成手段：

   $\frac{d}{dx}\left(\frac{x^8}{3}+7\right)=\frac{8x^7}{3}$

   这比应有的结果大了 $\frac83$ 倍，所以它不可能是 $x^7$ 的原函数。

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   再对正确答案求导。

   $\frac{d}{dx}\left(\frac{x^8}{8}+C\right)=\frac{8x^7}{8}=x^7$

   分母上那个 $8$ 恰好抵消了求导的幂法则甩出来的那个 $8$——这正是为什么要除以新指数。答案是 $\frac{x^8}{8}+C$。