计算 (xy − 1/4) 的绝对值在单位正方形 0 ≤ x ≤ 1、0 ≤ y ≤ 1 上的二重积分。

Step-by-step solution

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   先找出绝对值换号的那条曲线。 被积函数恰好在 $xy=\tfrac14$、也就是 $y=\dfrac{1}{4x}$ 上换号。在单位正方形内，只有当 $\dfrac{1}{4x}\le1$、即 $x\ge\tfrac14$ 时才看得到这条分支。当 $x<\tfrac14$ 时，整条竖直切片都满足 $xy\le x<\tfrac14$，那里不必分区。

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   先处理简单的条带 $0\le x\le\tfrac14$。 这里 $\left|xy-\tfrac14\right|=\tfrac14-xy$，所以

   $\int_0^1\left(\frac14-xy\right)dy=\frac14-\frac{x}{2}$

   $I_1=\int_0^{1/4}\left(\frac14-\frac{x}{2}\right)dx=\frac{1}{16}-\frac{1}{64}=\frac{3}{64}$

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   当 $\tfrac14\le x\le1$ 时，在 $a=\dfrac{1}{4x}$ 处把每条切片切开。 在 $a$ 以下被积函数是 $\tfrac14-xy$，在 $a$ 以上是 $xy-\tfrac14$。利用 $\dfrac{a}{4}=\dfrac{1}{16x}$ 和 $\dfrac{xa^2}{2}=\dfrac{1}{32x}$，两块分别是 $\dfrac{1}{32x}$ 和 $\dfrac{x}{2}-\dfrac14+\dfrac{1}{32x}$，于是每条切片贡献

   $\frac{x}{2}-\frac14+\frac{1}{16x}$

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   把切片的贡献对 $x$ 积分。

   $I_2=\int_{1/4}^{1}\left(\frac{x}{2}-\frac14+\frac{1}{16x}\right)dx=\frac{15}{64}-\frac{3}{16}+\frac{\ln4}{16}=\frac{3}{64}+\frac{\ln4}{16}$

   $\dfrac{1}{16x}$ 这一项是对数的唯一来源 —— 它正是「积分跨过一条双曲线边界」的标志。

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   把两块加起来，再做数值验证。

   $I=\frac{3}{64}+\frac{3}{64}+\frac{\ln4}{16}=\frac{3}{32}+\frac{\ln2}{8}$

   数值上是 $0.09375+0.0866434=0.1803933976$。在单位正方形上用 $3000\times3000$ 的中点网格算得 $0.1803933889$ —— 吻合到小数点后七位，对带折点的被积函数用网格法，这正是应有的精度 ✓。