对 y = arctan(e^(−a/2)) 关于 a 求导，并化简结果。

Step-by-step solution

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   先把链式法则的内层变量显式写出来。 令

   $u=e^{-a/2},\qquad y=\tan^{-1}(u).$

   反正切的导数是 $\frac{d}{du}\tan^{-1}u=\frac{1}{1+u^{2}}$，于是

   $\frac{dy}{da}=\frac{1}{1+u^{2}}\cdot\frac{du}{da}.$

2. 2

   对内层的指数函数求导。 指数关于 $a$ 是线性的，斜率为 $-\tfrac12$，所以

   $\frac{du}{da}=-\frac12 e^{-a/2}.$

   这一步的全部内容就是那个 $-\tfrac12$ 的因子；只有当指数恰好是 $a$ 时，指数函数的导数才等于它本身。

3. 3

   把内层函数平方——指数正是在这里塌缩的。 由于 $\left(e^{-a/2}\right)^{2}=e^{-a}$，

   $1+u^{2}=1+e^{-a}.$

   把 $u^{2}$ 写成 $e^{-a}$，而不是留着 $\left(e^{-a/2}\right)^{2}$，才让最后的化简成为可能；先把指数减半、再平方，正是答案如此清爽的原因。

4. 4

   合并成导数。 把两块代进去：

   $\frac{dy}{da}=\frac{-\tfrac12 e^{-a/2}}{1+e^{-a}}=-\frac{e^{-a/2}}{2\left(1+e^{-a}\right)}.$

   结果对任何 $a$ 都是负的，这很合理：$a$ 增大时 $e^{-a/2}$ 递减，而 $\tan^{-1}$ 是递增的，复合之后必然递减。

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   清掉负指数再化简，然后验算。 分子分母同乘 $e^{a}$：

   $\frac{dy}{da}=-\frac{e^{a/2}}{2\left(e^{a}+1\right)}.$

   两种写法在数值上一致：取 $a=0.8$，用中心差分算 $y$ 得 $-0.23125186$，两个闭式结果也都是 $-0.23125186$ ✓。$a$ 很大时第二种写法更好用，因为那时 $e^{-a}$ 会下溢。