求 1 关于 x 从 0 到 2π 的定积分。

Step-by-step solution

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   先从几何上把这个积分看明白。 $y=1$ 的图像是高为 $1$ 的一条水平线，所以这个积分就是区间 $[0,2\pi]$ 上一个高为 $1$ 的矩形的面积。面积等于底乘高，也就是区间的长度——所以还没动微积分，就该猜到答案是 $2\pi$。

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   找一个原函数。 我们要找满足 $F'(x)=1$ 的 $F$，而

   $\frac{d}{dx}(x)=1$

   所以取 $F(x)=x$ 即可。（这其实就是 $n=0$ 时的幂函数求导法则：$\int x^0dx=\tfrac{x^1}{1}$。）

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   用微积分基本定理。

   $\int_{0}^{2\pi}1\,dx=\Bigl[x\Bigr]_{0}^{2\pi}=2\pi-0=2\pi$

4. 4

   写出数值。

   $2\pi=6.283185307\ldots\approx6.2832$

5. 5

   记住这里体现的一般规律。 对任意常数 $c$ 和上下限 $a<b$，

   $\int_a^b c\,dx=c(b-a)$

   所以被积函数取 $1$ 时，积分量的就是长度——这正是应用题里 $\int_a^b1\,dx$ 常常充当「总时间」或「总质量」那一项的原因；而这里的上限 $2\pi$ 恰好是转满一圈，所以在三角函数的题目里出现得格外频繁。

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   回过头核对矩形的那种算法。 高 $1$ 乘以底 $2\pi-0=2\pi$ 得到 $2\pi$ ✓，与基本定理算出的结果完全一致。