解偏微分方程 dC/dt = D · d²C/dx² − k·C。

Step-by-step solution

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   从两个项里读出物理含义。 $D\,C_{xx}$ 是普通的扩散，$-kC$ 是一阶衰减：物质一边向外铺开，一边以与现有量成正比的速率消失。这两种机制互不干扰，这就提示我们：解应该能分解成「衰减部分乘扩散部分」。

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   做那个能把衰减剥下来的换元。 令

   $C(x,t)=e^{-kt}u(x,t)$

   于是 $C_{t}=e^{-kt}\left(u_{t}-ku\right)$，$C_{xx}=e^{-kt}u_{xx}$——因为这个指数因子不依赖 $x$。

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   代入并约掉。 方程变成

   $e^{-kt}\left(u_{t}-ku\right)=De^{-kt}u_{xx}-ke^{-kt}u$

   两边除以 $e^{-kt}$（它永不为零）得 $u_{t}-ku=Du_{xx}-ku$，两边的 $-ku$ 相消：

   $u_{t}=Du_{xx}$

   衰减项被精确地——不是近似地——消掉了，所以热传导方程的每一个已知解都能直接搬过来用。

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   用分离变量法解这个化简后的问题。 写 $u=X(x)T(t)$ 并除以 $XT$：

   $\frac{T'}{T}=D\frac{X''}{X}=-\lambda$

   于是 $T(t)=e^{-\lambda t}$，而 $X''+\dfrac{\lambda}{D}X=0$。当 $\lambda>0$ 时这给出 $X=A\cos\sqrt{\lambda/D}\,x+B\sin\sqrt{\lambda/D}\,x$；哪些 $\lambda$ 是允许的，由边界条件定下来。

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   拼出一般的分离变量解。 把换元还原回去，

   $C(x,t)=e^{-kt}\sum_{n}\left(A_{n}\cos\sqrt{\tfrac{\lambda_{n}}{D}}x+B_{n}\sin\sqrt{\tfrac{\lambda_{n}}{D}}x\right)e^{-\lambda_{n}t}$

   其中系数 $A_{n},B_{n}$ 由初始分布 $C(x,0)$ 确定。

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   检查两个极端情形是否合理。 若 $k=0$，换元变得无关紧要，方程就是纯粹的热传导方程 ✓。若 $D=0$，偏微分方程退化为 $C_{t}=-kC$，其解 $C=C_{0}e^{-kt}$ 正是换元在 $u$ 取常数时给出的结果 ✓。每个模态都以 $k+\lambda_{n}$ 这个合并速率衰减，可见衰减和扩散在指数上就是直接相加。