设 f(x) = Σ（n 从 1 到 ∞）xⁿ/n²，即二重对数函数 Li₂(x)。问 f 在 x = −1 处是否可导？

Step-by-step solution

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   先弄清 x = −1 相对收敛区间处在什么位置。 比值判别法给出收敛半径 $R=1$，而在两个端点处 $\sum \tfrac{(\pm 1)^n}{n^2}$ 都绝对收敛（被 $\sum 1/n^2$ 控制住）。所以 $f$ 在闭区间 $[-1,1]$ 上有定义，而 $x=-1$ 恰是端点——这正是这个问题不能想当然的原因。在开区间 $(-1,1)$ 内部，可导是白送的；到了端点就必须论证。

2. 2

   在区间内部逐项求导。 当 $|x|<1$ 时，

   $f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n x^{n-1}}{n^2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{n}=-\frac{\ln(1-x)}{x}$

   这里用到 $\sum_{n\ge 1}\tfrac{t^n}{n}=-\ln(1-t)$，取 $t=x$ 后再除以 $x$。

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   把求导后的级数拿到端点处检验。 把 $x=-1$ 代入导数级数得

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}=1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots$

   这个交错调和级数（由交错级数判别法）收敛于 $\ln 2$。这正是它与 $x=+1$ 的决定性差别：在 $x=+1$ 处同一个级数变成发散的调和级数，导数根本不存在。

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   用阿贝尔定理把收敛升级为可导。 既然求导后的级数在 $x=-1$ 处收敛，它就在 $[-1,0]$ 上一致收敛；而一致收敛的导函数级数可以逐项积分或求导，并且一直有效到端点为止。因此 $f$ 在 $x=-1$ 处可导（在 $[-1,1]$ 内部方向上是单侧可导，若用 $\operatorname{Li}_2$ 越过 $-1$ 的解析延拓则是双侧可导），且

   $f'(-1)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}=\ln 2$

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   用封闭形式再确认一遍。 公式 $f'(x)=-\tfrac{\ln(1-x)}{x}$ 在 $x=-1$ 处连续，代入得

   $f'(-1)=-\frac{\ln 2}{-1}=\ln 2\approx 0.6931$

   与级数算出的值一致。（顺带一提，$f(-1)=\sum \tfrac{(-1)^n}{n^2}=-\tfrac{\pi^2}{12}$。）

   $\boxed{\text{可导；}f'(-1)=\ln 2\approx 0.693}$

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   把两个端点对照着看。 在 $x=1$ 处，差商 $\tfrac{f(1)-f(x)}{1-x}=\sum_{n\ge 1}\tfrac{1+x+\cdots+x^{n-1}}{n^2}$ 趋于 $\sum \tfrac{1}{n}=\infty$，所以 $f$ 在那里有竖直切线，不可导。而 $x=-1$ 处多出来的那个 $(-1)^n$ 因子，把一个发散级数变成了收敛级数——整个答案就取决于这一点。