求 f(x) = ln(√(x² + 1) + x) 在 x = 0 处的泰勒级数，写出前几个非零项、通项公式以及收敛区间。

Step-by-step solution

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   动手求导之前，先把这个函数认出来。 $\ln\!\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$ 这个组合正是反双曲正弦的标准对数形式，

   $\operatorname{arsinh}x=\ln\!\left(x+\sqrt{x^2+1}\right),$

   所以 $f(x)=\operatorname{arsinh}x$。这一点很要紧：直接从对数去算 $f^{(n)}(0)$ 是自讨苦吃，而 $\operatorname{arsinh}$ 的导数简单得不能再简单。凡是麦克劳林展开看着难做，都该先看看导数是不是那个好对付的对象。

2. 2

   求一次导，看着对数塌缩掉。 用链式法则，

   $f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}+1\right)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}\cdot\frac{x+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}.$

   括号里的 $x+\sqrt{x^2+1}$ 与分母正好约干净，只剩下

   $f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}=(1+x^2)^{-1/2}.$

   这道题之所以容易，全靠这一次约分。

3. 3

   用二项级数展开导数。 当 $|t|<1$ 时，

   $(1+t)^{\alpha}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}t^{n}.$

   取 $t=x^{2}$、$\alpha=-\tfrac12$：

   $(1+x^2)^{-1/2}=1-\frac12x^2+\frac38x^4-\frac{5}{16}x^6+\frac{35}{128}x^8-\cdots$

   只出现偶次幂，这就已经告诉你 $f$ 里只会有奇次幂——与 $f$ 是奇函数这一点吻合。

4. 4

   利用 $f(0)=0$ 逐项积分。 因为 $f(0)=\ln 1=0$，所以 $f(x)=\int_0^x f'(t)\,dt$，而幂级数在收敛半径内可以逐项积分：

   $f(x)=x-\frac12\cdot\frac{x^3}{3}+\frac38\cdot\frac{x^5}{5}-\frac{5}{16}\cdot\frac{x^7}{7}+\frac{35}{128}\cdot\frac{x^9}{9}-\cdots$

   $f(x)=x-\frac{x^{3}}{6}+\frac{3x^{5}}{40}-\frac{5x^{7}}{112}+\frac{35x^{9}}{1152}-\cdots$

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   写出通项。 对 $\binom{-1/2}{n}x^{2n}$ 积分得到 $\binom{-1/2}{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$，而 $\binom{-1/2}{n}=(-1)^n\frac{(2n)!}{4^n (n!)^2}$，于是

   $\ln\!\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}\,x^{2n+1}.$

   核一下前两个系数：$n=0$ 给出 $x$，$n=1$ 给出 $-\frac{2}{4\cdot 1\cdot 3}x^3=-\frac{x^3}{6}$。 ✓

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   确定收敛区间，并作数值检验。 $(1+x^2)^{-1/2}$ 的二项级数要求 $|x^2|<1$，即 $|x|<1$；而在 $x=\pm1$ 处，积分之后的级数各项量级约为 $\sim n^{-3/2}$，绝对收敛，所以收敛区间是 $[-1,1]$。在 $x=0.2$ 处作数值检验：上面写出的五项给出 $0.198690110\ldots$，而 $\operatorname{arsinh}(0.2)=0.198690110\ldots$ ✓