求 2/x − 1/x² 关于 x 的不定积分。

Step-by-step solution

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   利用线性性把积分拆开。 积分对差是可以分配的，常数也能提到积分号外面：

   $\int\left(\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}\right)dx=2\int\frac{dx}{x}-\int\frac{dx}{x^2}$

   定义域是 $x\neq0$，原函数在 $(-\infty,0)$ 和 $(0,\infty)$ 上分别成立。

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   处理第一项 —— 幂法则的那个例外。 把 $\tfrac1x$ 写成 $x^{-1}$，套常用公式 $\int x^n dx=\tfrac{x^{n+1}}{n+1}$ 就会除以 $n+1=0$。这正是 $n=-1$ 成为唯一例外的原因：

   $\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C$

   加上绝对值，是为了让它对负的 $x$ 也成立。于是第一项贡献 $2\ln|x|$。

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   第二项用普通幂法则处理。 这里 $\tfrac{1}{x^2}=x^{-2}$，$n=-2$，于是 $n+1=-1\neq0$，标准法则可以直接用：

   $\int x^{-2}dx=\frac{x^{-1}}{-1}=-\frac1x$

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   别忘了第二个积分前面的那个负号。 被积函数里是 $-\tfrac{1}{x^2}$，所以

   $-\int x^{-2}dx=-\left(-\frac1x\right)=+\frac1x$

   负负得正这一步，正是最常被漏掉的地方。

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   合并成一个原函数。

   $\int\left(\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}\right)dx=2\ln|x|+\frac1x+C$

   注意两个表面上很像的项，积出来却是完全不同类型的函数 —— 一个是对数，一个是有理式。

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   求导验证。 $\dfrac{d}{dx}\left[2\ln|x|+\tfrac1x\right]=\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x^2}$ ✓。数值上，在 $x=0.7,\ 2.3,\ -1.6$ 处用对称差商计算，与被积函数在五位有效数字上吻合 ✓，其中还包含了一个绝对值真正起作用的负值点。