求 x 趋于 2 时 (√(3x − 2) + √(x − 1) − 3) / (x² − 4) 的极限。

Step-by-step solution

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   先代入 $x=2$，确认未定式类型。 动用任何技巧之前都要先查一查：

   $\text{分子}=\sqrt{3(2)-2}+\sqrt{2-1}-3=\sqrt4+\sqrt1-3=2+1-3=0$

   $\text{分母}=2^2-4=0$

   所以式子是 $\tfrac00$ 型。这是好消息而不是坏消息：它保证因子 $(x-2)$ 同时藏在分子和分母里，可以约掉。另外注意 $x=2$ 稳稳落在定义域内部，因为在 $x=2$ 附近 $3x-2>0$ 且 $x-1>0$。

2. 2

   把分子拆开，让每个根号各减去自己的值。 常数 $-3$ 恰好就是 $-(2+1)$，即两个根式在 $x=2$ 处的值之和。这样改写以后，两个根式就能分开处理：

   $\sqrt{3x-2}+\sqrt{x-1}-3=\underbrace{\big(\sqrt{3x-2}-2\big)}_{\to\,0}+\underbrace{\big(\sqrt{x-1}-1\big)}_{\to\,0}$

   这是关键一步。想把三项的分子一口气有理化只会越弄越乱；拆开之后，一个难极限就变成了两个简单的共轭问题。

3. 3

   对每一块用共轭式有理化。 乘上 $\frac{\sqrt{\;}+\text{原值}}{\sqrt{\;}+\text{原值}}$，就把根式之差变成了平方之差：

   $\sqrt{3x-2}-2=\frac{(3x-2)-4}{\sqrt{3x-2}+2}=\frac{3(x-2)}{\sqrt{3x-2}+2}$

   $\sqrt{x-1}-1=\frac{(x-1)-1}{\sqrt{x-1}+1}=\frac{x-2}{\sqrt{x-1}+1}$

   现在两块都显式地带上了因子 $(x-2)$ —— 正是分母里也有的那个因子。

4. 4

   约掉公因子 $(x-2)$。 把分母按平方差分解成 $x^2-4=(x-2)(x+2)$，再合并：

   $\frac{\sqrt{3x-2}+\sqrt{x-1}-3}{x^2-4}=\frac{(x-2)\left[\dfrac{3}{\sqrt{3x-2}+2}+\dfrac{1}{\sqrt{x-1}+1}\right]}{(x-2)(x+2)}$

   $=\frac{1}{x+2}\left[\frac{3}{\sqrt{3x-2}+2}+\frac{1}{\sqrt{x-1}+1}\right]$

   约分是合法的，因为求极限时只关心 $x\ne2$ 的情形。

5. 5

   把 $x=2$ 代进约分后的式子。 这时已经没有任何未定式了：

   $\frac{1}{4}\left[\frac{3}{2+2}+\frac{1}{1+1}\right]=\frac14\left[\frac34+\frac12\right]=\frac14\cdot\frac54=\frac{5}{16}$

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   用洛必达法则交叉验证。 因为原式是 $\tfrac00$ 型，对分子分母分别求导同样合法：

   $\lim_{x\to2}\frac{\dfrac{3}{2\sqrt{3x-2}}+\dfrac{1}{2\sqrt{x-1}}}{2x}=\frac{\tfrac{3}{4}+\tfrac12}{4}=\frac{\tfrac54}{4}=\frac{5}{16}$

   两条路殊途同归。数值抽查也印证了这一点：在 $x=2.00001$ 处商为 $0.3124986\ldots$，而 $\tfrac{5}{16}=0.3125$。