求 x 趋于正无穷时 ln(e^x + x) / (x² + 1) 的极限。

Step-by-step solution

1. 1

   千万别把「和的对数」拆开。 $\ln(e^x+x)$ 不等于 $\ln e^x+\ln x$。合法的做法是在对数内部把主导项提出来，再对得到的乘积用 $\ln(ab)=\ln a+\ln b$。

2. 2

   在对数内部提出主导项 $e^{x}$。 当 $x$ 很大时 $e^x$ 远远压过 $x$，所以

   $e^{x}+x=e^{x}\left(1+xe^{-x}\right)$

   于是

   $\ln\left(e^{x}+x\right)=\ln\left(e^{x}\right)+\ln\left(1+xe^{-x}\right)=x+\ln\left(1+xe^{-x}\right)$

3. 3

   说明修正项可以忽略。 指数增长压过多项式，所以 $xe^{-x}\to 0$，从而

   $\ln\left(1+xe^{-x}\right)\to\ln 1=0$

   也就是说分子是 $x$ 加上一个趋于零的量：它的增长速度恰好就是 $x$，不会更快。

4. 4

   比较两者的增长阶。 商变成

   $\frac{x+\ln\left(1+xe^{-x}\right)}{x^{2}+1}\sim\frac{x}{x^{2}}=\frac{1}{x}$

   一次的分子配二次的分母，极限必然为零。

5. 5

   写出极限并做数值确认。

   $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln\left(e^{x}+x\right)}{x^{2}+1}=0$

   $x=100$ 时值为 $0.009999$，$x=500$ 时为 $0.002000$ —— $x$ 翻倍值就减半，正是预言中的 $1/x$ 衰减。