求 1/x 关于 x 的积分。

Step-by-step solution

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   先看清幂法则在这里为什么失效。 法则 $\int x^{p}dx=\dfrac{x^{p+1}}{p+1}$ 在 $p=-1$ 处就崩掉了，因为分母 $p+1$ 变成了零。所以 $\int x^{-1}dx$ 是整个幂函数家族里唯一的例外，需要单独给出答案。

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   从对数函数的导数入手。 当 $x>0$ 时，$\dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x}$，所以 $\ln x$ 是一个原函数 —— 但只在正半轴上，因为 $x\le 0$ 时 $\ln x$ 根本没有定义。

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   再处理负的 $x$，那里被积函数照样好好的。 当 $x<0$ 时 $\dfrac1x$ 完全有定义，所以那一侧也必须存在原函数。对 $x<0$ 写 $|x|=-x$，再用链式法则求导：

   $\frac{d}{dx}\ln(-x)=\frac{1}{-x}\cdot(-1)=\frac{1}{x}$

   得到的导数一模一样，这正是「绝对值」这块补丁打得对的原因。

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   把两种情形合成一个公式。

   $\int\frac{1}{x}\,dx=\ln\left|x\right|+C\qquad(x\neq 0)$

   若写成 $\ln x+C$，就等于悄悄把答案限制在 $x>0$ 上，对每一个负的输入都会给出无定义的表达式。

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   留意关于积分常数的一个细节。 因为定义域 $x\neq 0$ 被切成互不相连的两块，常数在两侧其实可以不同：最一般的原函数是 $x>0$ 时 $\ln|x|+C_{1}$，$x<0$ 时 $\ln|x|+C_{2}$。这一点对定积分很要紧 —— 跨过 $0$ 的积分，比如 $\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x}$，是发散的反常积分，而不是 $\ln 1-\ln 1=0$。