解微分方程 X'' = −0.1X。

Step-by-step solution

1. 1

   把所有项移到一边，露出标准形式。 二阶线性理论只适用于写成 $aX''+bX'+cX=0$ 的方程，所以两边同加 $0.1X$：

   $X''+0.1X=0$

   式中既没有 $X'$ 项，右边也没有强迫项，所以它是常系数**齐次方程——正是指数试解能精确解掉的那一类。

2. 2

   代入 $X=e^{rt}$，把微积分变成代数。 求两次导得 $X'=re^{rt}$、$X''=r^{2}e^{rt}$，于是方程成为

   $r^{2}e^{rt}+0.1e^{rt}=e^{rt}\left(r^{2}+0.1\right)=0$

   由于对任何实数 $t$，$e^{rt}$ 都不为零，括号里必须为零。剩下的就是特征方程 $r^{2}+0.1=0$。

3. 3

   解出 $r$，并看清 $r^{2}$ 的符号。

   $r^{2}=-0.1\qquad\Longrightarrow\qquad r=\pm i\sqrt{0.1}=\pm\frac{i}{\sqrt{10}}$

   两个根是纯虚数：完全没有实部。这正是无阻尼振荡在代数上的标志——方程里没有任何东西会增长或衰减。

4. 4

   把复根换成实的正弦和余弦。 对一对共轭根 $r=\pm i\omega$，两个实的独立解是 $\cos(\omega t)$ 和 $\sin(\omega t)$，所以取 $\omega=\sqrt{0.1}$：

   $X(t)=C_{1}\cos\!\left(\sqrt{0.1}\,t\right)+C_{2}\sin\!\left(\sqrt{0.1}\,t\right)$

   把 $\sqrt{0.1}=1/\sqrt{10}$ 代进去，就得到等价的写法 $X(t)=C_{1}\cos(t/\sqrt{10})+C_{2}\sin(t/\sqrt{10})$。

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   代回原方程检验。 求两次导相当于给每一项乘上 $-\omega^{2}=-0.1$，所以 $X''=-0.1X$ 恒成立。取 $C_{1}=1.3$、$C_{2}=-0.7$，在 $t=0.5$、$1.7$ 和 $3.3$ 处对 $X$ 做数值二阶差分，都能在 $10^{-6}$ 精度内复现 $-0.1X(t)$ ✓。

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   解释两个常数的含义。 角频率是 $\omega=\sqrt{0.1}\approx0.3162$ 弧度每单位时间，所以周期是 $T=2\pi/\omega=2\pi\sqrt{10}\approx19.87$。两个常数 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 由初始条件定下来：$C_{1}=X(0)$，$C_{2}=X'(0)/\omega$。