解微分方程 dy = dx/(y − 1)²。

Step-by-step solution

1. 1

   先写成导数形式。 两边除以 $dx$：

   $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{(y-1)^2}$

   右边只与 $y$ 有关，所以这是可分离变量的方程。注意有限制 $y\neq1$，在那里右边没有定义。

2. 2

   分离变量。 两边乘 $(y-1)^2$ 再乘 $dx$：

   $(y-1)^2\,dy=dx$

   那个平方因子被搬到了 $y$ 这一侧，这正是让积分变成初等积分的关键。

3. 3

   两边积分。 令 $u=y-1$（于是 $du=dy$），左边的积分就变成了一个纯幂函数积分：

   $\int(y-1)^2dy=\int u^2du=\frac{u^3}{3}=\frac{(y-1)^3}{3},\qquad \int dx=x+C$

   所以

   $\frac{(y-1)^3}{3}=x+C$

4. 4

   去掉分母。 两边乘 $3$，常数被吸收（$3C$ 和 $C$ 一样任意）：

   $(y-1)^3=3x+C$

   这就是隐式通解。

5. 5

   显式地解出 y。 在实数范围内立方根是单值的 —— 与平方根不同，这里没有 $\pm$，也不用分符号讨论：

   $y-1=\sqrt[3]{3x+C}\qquad\Longrightarrow\qquad y=1+\sqrt[3]{3x+C}$

   解曲线正好在 $3x+C=0$ 处经过 $y=1$；在那里导数是无穷大，所以曲线有一条竖直切线。

6. 6

   用隐函数求导来验证。 由 $(y-1)^3=3x+C$ 得 $3(y-1)^2y'=3$，所以 $y'=\dfrac{1}{(y-1)^2}$ ✓ —— 正是原方程。数值上取 $C=2$，在 $x=0.5,\,2.0,\,4.0$ 处，$y=1+\sqrt[3]{3x+2}$ 的差商与 $\tfrac{1}{(y-1)^2}$ 在四位有效数字上吻合 ✓。