求函数 y = (1/3)x³ + x² − 8x + 1 的临界值，先写较小的那个。

Step-by-step solution

1. 1

   动手求导之前，先弄清临界值到底是什么。 临界值指的是使 $y'=0$ 或使 $y'$ 不存在的那些 $x$。这里的 $y$ 是多项式，导数处处存在，第二种情形自动排除——整道题就归结成解 $y'=0$。$x^{3}$ 前面那个 $\tfrac13$ 放在那里，正是为了让求导后的首项系数变成 $1$。

2. 2

   用幂函数求导法则逐项求导。 每一项都是 $x$ 的幂乘以一个常数：

   $y'=\frac{1}{3}\cdot 3x^{2}+2x-8+0=x^{2}+2x-8$

   常数项 $+1$ 求导后不留下任何东西，所有常数都是如此。

3. 3

   令导数等于零。 临界值就是下面这个方程的解：

   $x^{2}+2x-8=0$

4. 4

   别急着搬求根公式，先试分解因式。 找两个数，积为 $-8$、和为 $+2$，也就是 $+4$ 与 $-2$：

   $x^{2}+2x-8=(x+4)(x-2)=0$

5. 5

   分别令每个因式为零，再按大小排好。 令各因式为零得

   $x+4=0\ \Rightarrow\ x=-4,\qquad x-2=0\ \Rightarrow\ x=2$

   所以临界值是 $x=-4$ 和 $x=2$，较小的那个是 $x=-4$。

6. 6

   导数和根都要验一遍。 代回去：$(-4)^{2}+2(-4)-8=16-8-8=0$，$2^{2}+2(2)-8=4+4-8=0$，两个都是真正的根。再对原函数 $y$ 用中心差分算数值导数，在 $x=0.5$ 处得 $-6.75$，在 $x=-1.2$ 处得 $-8.96$，与 $x^{2}+2x-8$ 在这两点上的值吻合，说明导数本身也没求错。