求当 x 趋于 0 时 (tan x - sin x) / x² 的极限。

Step-by-step solution

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   千万别把 $\tan x$ 和 $\sin x$ 各自换成 $x$。 在 $0$ 附近两者都与 $x$ 等价，照这个捷径走，分子成了 $x-x=0$，答案虽然也是 $0$，却是“蒙对的”。等价无穷小只能在乘积和商里替换，绝不能用在最高次项会互相抵消的差式里。必须先弄清分子真正的量级。

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   把分子里的 $\sin x$ 提出来。 写成 $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$：

   $\tan x-\sin x=\sin x\left(\frac{1}{\cos x}-1\right)=\sin x\cdot\frac{1-\cos x}{\cos x}$

   这个恒等变形把一个危险的差式换成了三个我们都很熟悉的因子的乘积。

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   把商拆成几个标准极限。 用 $x^2=x\cdot x$ 去除，让每个因子各配一个 $x$：

   $\frac{\tan x-\sin x}{x^2}=\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1-\cos x}{x}\cdot\frac{1}{\cos x}$

   现在每个因子都是课本上的标准极限，而且三个都收敛，所以极限的乘积法则可以用。

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   逐个求出这三个因子的极限。

   $\frac{\sin x}{x}\to 1,\qquad \frac{1-\cos x}{x}\to 0,\qquad \frac{1}{\cos x}\to 1$

   中间那个是起决定作用的：$1-\cos x\approx\tfrac{x^2}{2}$，所以只除掉一个 $x$ 之后，剩下的部分仍然趋于零。

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   把三个极限相乘。

   $1\cdot 0\cdot 1=0$

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   用泰勒展开交叉验证。 由 $\tan x=x+\tfrac{x^3}{3}+O(x^5)$ 和 $\sin x=x-\tfrac{x^3}{6}+O(x^5)$，两者之差是 $\tfrac{x^3}{3}+\tfrac{x^3}{6}=\tfrac{x^3}{2}$。除以 $x^2$ 后剩下 $\tfrac{x}{2}\to 0$。数值上，在 $x=0.1$ 处商是 $0.0501$，在 $x=0.01$ 处是 $0.0050$——每次缩小十倍，与 $x/2$ 完全一致。