求 x 趋于 π/2 时 (sin 3x − cos 2x)/(2x − π)² 的极限。

Step-by-step solution

1. 1

   先判断未定式类型。 在 $x=\frac{\pi}{2}$ 处：$\sin\frac{3\pi}{2}=-1$，$\cos\pi=-1$，所以分子为 $-1-(-1)=0$，分母同样是 $0$ —— 这是 $\frac{0}{0}$ 型。

2. 2

   把变量平移。 令 $x=\frac{\pi}{2}+t$，则 $t\to 0$。分母变成 $(2t)^2=4t^2$，所以要让极限有限，分子必须是二阶无穷小。

3. 3

   改写分子。 $\sin\left(\frac{3\pi}{2}+3t\right)=-\cos 3t$，$\cos(\pi+2t)=-\cos 2t$，于是分子变成 $-\cos 3t+\cos 2t=\cos 2t-\cos 3t$。

4. 4

   把两个余弦都展开到二阶。 $\cos 2t\approx 1-2t^2$，$\cos 3t\approx 1-\frac{9}{2}t^2$，所以 $\cos 2t-\cos 3t\approx\frac{9}{2}t^2-2t^2=\frac{5}{2}t^2$。常数项正好抵消，这与 $\frac{0}{0}$ 型的要求完全一致。

5. 5

   作商。 $\frac{\frac{5}{2}t^2}{4t^2}=\frac{5}{8}$，与 $t$ 无关，所以极限就是 $\frac{5}{8}$。

6. 6

   数值检验。 在 $x=\frac{\pi}{2}+10^{-4}$ 处，原式算得 $0.6249999932$，与 $\frac{5}{8}=0.625$ 吻合。