求 3cos(2x) = 2ln(x − 1) 的全部解。

Step-by-step solution

1. 1

   先确定定义域。 对数要求 $x-1>0$，所以每个解都满足

   $x>1$

   当 $x\to 1^{+}$ 时右边趋于 $-\infty$，而左边始终落在 $[-3,3]$ 内，所以差函数 $F(x)=3\cos 2x-2\ln(x-1)$ 一开始是很大的正数。

2. 2

   把搜索区间限制到有限范围。 左边的绝对值永远不超过 $3$，所以解必须满足 $|2\ln(x-1)|\le 3$，即

   $\ln(x-1)\le 1.5\;\Longrightarrow\;x\le 1+e^{1.5}\approx 5.4817$

   这一步把无界搜索变成了有限区间 $(1,\,5.4817]$——正是有了它，"求全部解"才成为一个能回答完的问题，而不是没有尽头。

3. 3

   找出 $F(x)=3\cos 2x-2\ln(x-1)$ 变号的位置。 扫描整个区间，$F$ 恰好变号三次：

   $F(1.2)>0>F(1.35),\qquad F(2.4)<0<F(2.6),\qquad F(3.5)>0>F(3.7)$

   在 $3.7$ 到 $5.48$ 之间对数项已经占了上风，$F$ 一直为负，所以不会出现第四个交点。

4. 4

   用二分法把每个根精确化。 对每个含根区间反复取半，得到

   $x_1\approx 1.283776,\qquad x_2\approx 2.490960,\qquad x_3\approx 3.584299$

5. 5

   逐个代回验证。 把三个值代入 $F$ 得到 $-7.6\times 10^{-7}$、$-2.2\times 10^{-6}$ 和 $+1.6\times 10^{-6}$——在六位小数输入的舍入范围内即为零 $\checkmark$。作为对照，附近的 $1.41538$、$2.40898$、$3.55226$ 给出 $F=-1.099$、$-0.370$、$+0.170$，离零差得很远，所以它们不是解。