求微分方程 f''(x) = 2 满足初始条件 f'(2) = 5 和 f(2) = 10 的特解。

Step-by-step solution

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   先把两次积分和两个常数规划清楚。 题目给的是二阶导数，所以想还原 $f$ 就要积分两次，而每次积分都会引入一个任意常数。这正是题目给出两个条件的原因——一个条件消掉一个常数。按 $f''\to f'\to f$ 的顺序积分，常数一出现就立刻把它定下来。

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   积分一次得到 $f'$。 常数 $2$ 的原函数是 $2x$：

   $f'(x)=\int 2\,dx=2x+C_{1}$

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   用 $f'(2)=5$ 求 $C_{1}$。 代入 $x=2$：

   $f'(2)=2(2)+C_{1}=4+C_{1}$

   令它等于 $5$，得 $C_{1}=1$，于是

   $f'(x)=2x+1$

   现在就把 $C_1$ 定下来，而不是一路带着它，能让第二次积分干净得多。

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   再积分一次得到 $f$。 对 $2x+1$ 逐项求原函数：

   $f(x)=\int (2x+1)\,dx=x^{2}+x+C_{2}$

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   用 $f(2)=10$ 求 $C_{2}$。 代入 $x=2$：

   $f(2)=2^{2}+2+C_{2}=6+C_{2}$

   令它等于 $10$，得 $C_{2}=4$，所以特解是

   $f(x)=x^{2}+x+4$

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   把三个要求逐个验证一遍。 求导得 $f'(x)=2x+1$ 和 $f''(x)=2$，微分方程成立。在 $x=2$ 处：$f'(2)=2(2)+1=5$，$f(2)=4+2+4=10$。两个初始条件都严格吻合。