计算 x² + y² 在区域 0 ≤ x ≤ 1、0 ≤ y ≤ 1 上的二重积分。

Step-by-step solution

1. 1

   在矩形上列出累次积分。 上下限都是常数，说明积分次序无所谓，于是写成 $\int_0^1\int_0^1\left(x^2+y^2\right)dy\,dx$。

2. 2

   把被积函数拆成两个单变量的部分。 $\iint(x^2+y^2)\,dA=\iint x^2\,dA+\iint y^2\,dA$。因为区域是两个区间的乘积，每一部分都能分离变量。

3. 3

   先算第一部分。 $\int_0^1 x^2\,dx\cdot\int_0^1 dy=\frac13\cdot 1=\frac13$。

4. 4

   第二部分直接用对称性。 把 $x$ 与 $y$ 的角色互换，正方形映回自身，第二个被积函数正好变成第一个，所以 $\iint y^2\,dA$ 同样是 $\frac13$。看出这层对称性，就省掉了一遍重复计算。

5. 5

   把两份贡献加起来。 结果是 $\frac13+\frac13=\frac23\approx 0.6667$。

6. 6

   数值检验。 在单位正方形上做自适应数值求积返回 $0.66666667$，与 $\frac23$ 吻合。