对 y = 2cos x，写出定义域并求导数 y′。

Step-by-step solution

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   先确定定义域。 余弦函数对任何实数都有定义——式子里既没有分母，也没有偶次根式和对数来限制它——再乘以 $2$ 也不会有任何改变。因此

   $\mathcal{D}=\mathbb{R}$

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   把常数提到外面。 常数倍法则告诉我们 $\dfrac{d}{dx}\left[cf(x)\right]=c\,f'(x)$，所以这个 $2$ 只需在外面等着：

   $y'=2\cdot\frac{d}{dx}\left(\cos x\right)$

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   对余弦求导。 这个基本导数公式自带一个负号：

   $\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x$

   丢掉这个负号是三角函数求导中最常见的错误。（这里的自变量就是 $x$ 本身，所以不需要再乘链式法则的因子。）

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   合并起来。

   $y'=2(-\sin x)=-2\sin x$

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   做数值和结构两方面的验证。 取 $h=10^{-6}$ 的中心差分，在 $x=0.3$、$1.4$、$2.9$ 处与 $-2\sin x$ 的误差都在 $10^{-6}$ 以内 ✓。结构上再看：$y=2\cos x$ 在 $x=0,2\pi,\ldots$ 取极大，在 $x=\pi,\ldots$ 取极小，而 $y'=-2\sin x$ 恰好在 $\pi$ 的每个整数倍处为零 ✓。$y'$ 的值域是 $[-2,2]$，说明曲线最陡处的斜率是 $\pm2$，分别在 $x=\tfrac{\pi}{2}$ 和 $\tfrac{3\pi}{2}$ 处取到。