求 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x 的导数，并解释 x^3 为什么会变成 3x^2。

Step-by-step solution

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   先写出幂函数求导法则，并看清它做了什么。 对任意常数指数 $n$，

   $\frac{d}{dx}\left(x^{n}\right)=n\,x^{n-1}$

   这里同时发生了两件事：指数落到前面变成系数，同时指数减一。这一句话就解释清楚了大家最容易卡住的 $x^{3}\to 3x^{2}$。

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   对三次项求导。 取 $n=3$：

   $\frac{d}{dx}\left(x^{3}\right)=3x^{3-1}=3x^{2}$

   这个 $3$ 不是凭空造出来的 —— 它就是原来的指数，被搬到了系数的位置上。

3. 3

   对二次项求导，系数留在外面。 常数可以直接提到求导号外，所以

   $\frac{d}{dx}\left(-3x^{2}\right)=-3\cdot\frac{d}{dx}\left(x^{2}\right)=-3(2x)=-6x$

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   对一次项求导。 这里 $n=1$，于是 $x^{1}\to 1\cdot x^{0}=1$，所以

   $\frac{d}{dx}\left(2x\right)=2\cdot 1=2$

   一次项求导之后剩下的永远只是它的斜率。

5. 5

   利用求导的线性，把三部分加起来。

   $f'(x)=3x^{2}-6x+2$

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   在一个点上做数值检验。 在 $x=2$ 处取 $h=10^{-6}$ 作中心差商，$\dfrac{f(2+h)-f(2-h)}{2h}\approx 2.000000$，而公式给出 $3(4)-6(2)+2=2$。在 $x=-1$ 处同样验算，差商为 $\approx 11.000000$，公式给出 $3+6+2=11$。