判断 ∫ 从 −∞ 到 0 的 1/(3·√((x − 8)²)) dx 是否收敛；若收敛，求出它的值。

Step-by-step solution

1. 1

   先把根号化成绝对值。 对每个实数 $x$，都有 $\sqrt{(x-8)^2}=|x-8|$，而不是 $x-8$。这个区别正是本题的要害，因为积分区间整个落在 $8$ 左边很远的地方。

2. 2

   在真正的积分区间上去掉绝对值。 在 $(-\infty,0]$ 上有 $x\le 0<8$，所以 $x-8<0$，$|x-8|=8-x$。积分变成 $\int_{-\infty}^{0}\frac{dx}{3(8-x)}.$

3. 3

   写成极限。 下限是无穷，所以按定义 $\int_{-\infty}^{0}\frac{dx}{3(8-x)}=\lim_{a\to-\infty}\int_{a}^{0}\frac{dx}{3(8-x)}.$ 被积函数本身在整个范围上连续且为正——唯一的麻烦来自区间无界。

4. 4

   求一个原函数。 换元 $u=8-x$，$du=-dx$，得 $\int\frac{dx}{3(8-x)}=-\frac13\int\frac{du}{u}=-\frac13\ln|8-x|+C.$

5. 5

   求这个极限。 $\lim_{a\to-\infty}\left[-\frac13\ln(8-x)\right]_{a}^{0}=\lim_{a\to-\infty}\left(-\frac13\ln 8+\frac13\ln(8-a)\right).$ 当 $a\to-\infty$ 时，$8-a\to+\infty$，$\ln(8-a)\to+\infty$，所以整个式子无界增长。

6. 6

   下结论。 这个积分发散到 $+\infty$。它就是常见的 $1/x$ 型尾部：被积函数按 $\frac{1}{3|x|}$ 衰减，而 $\int^{\infty}\frac{dx}{x}$ 正是那个收敛不了的临界情形。