求 yz 在区域 0 ≤ x ≤ 2π，0 ≤ y ≤ 2，0 ≤ z ≤ x² 上的三重积分。

Step-by-step solution

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   先看清里层积分限是由哪个变量控制的。 $z$ 的范围是从 $0$ 到 $x^2$——它依赖的是 $x$，也就是最外层那个变量，而不是 $y$。这是允许的，同时也意味着里层积分算完之后，对 $y$ 的积分可以完全独立于 $z$ 来做。

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   把 y 当常数，先对 z 积分。

   $\int_0^{x^2} yz\,dz = y\left[\frac{z^2}{2}\right]_0^{x^2} = y \cdot \frac{(x^2)^2}{2} = \frac{x^4 y}{2}$

   上限平方之后得到的是 $x^4$，不是 $x^2$——最终 $\pi$ 的次数就是在这一步定下来的。

3. 3

   对 y 从 0 积到 2。 此时 $x^4/2$ 是常数：

   $\int_0^2 \frac{x^4 y}{2}\,dy = \frac{x^4}{2}\left[\frac{y^2}{2}\right]_0^{2} = \frac{x^4}{2}\cdot 2 = x^4$

4. 4

   对 x 从 0 积到 2π。

   $\int_0^{2\pi} x^4\,dx = \left[\frac{x^5}{5}\right]_0^{2\pi} = \frac{(2\pi)^5}{5}$

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   把幂次化开。 由于 $(2\pi)^5 = 2^5\pi^5 = 32\pi^5$：

   $\iiint yz\,dV = \frac{32\pi^5}{5} \approx 1958.53$

   $2^5 = 32$ 这一项必须乘开——写成 $2\pi^5/5$ 就会差 $32$ 倍。另外要注意，这里的 $\pi$ 并不扮演任何三角函数的角色，它只是上限 $2\pi \approx 6.2832$ 这个数值而已。