求 (1 + 1/x)^(x² / eˣ) 当 x 趋于 0 时的极限。

Step-by-step solution

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   先看清这个式子在哪里才有定义。 当 $x<0$ 且接近零时，底数 $1+\tfrac1x$ 是负的（在 $x=-0.1$ 处它等于 $-9$），而负底数取任意实数次幂在实数范围内没有定义。所以只能讨论右极限，任何结论都必须注明是 $x\to 0^{+}$。

2. 2

   判断不定式的类型。 当 $x\to 0^{+}$ 时：

   $1+\frac1x\to+\infty,\qquad \frac{x^2}{e^x}\to\frac{0}{1}=0$

   这是 $\infty^{0}$ 型，属于真正的不定式——取决于两部分变化的快慢，结果可以是任何一个正数。

3. 3

   取对数，把幂变成乘积。 令 $L=\left(1+\tfrac1x\right)^{x^2/e^x}$，则

   $\ln L=\frac{x^2}{e^x}\ln\left(1+\frac1x\right)$

   对数是处理一切 $\infty^{0}$、$0^{0}$、$1^{\infty}$ 型的标准工具：它把底数与指数之间的角力，变成一个普通的乘积。

4. 4

   估计这个对数。 当 $x$ 是很小的正数时，$1+\tfrac1x\sim\tfrac1x$，所以 $\ln\left(1+\tfrac1x\right)\sim-\ln x$。又因为 $e^x\to 1$，整个乘积的行为就像

   $\ln L\sim x^2\ln\frac1x$

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   用标准极限 $x^{a}\ln x\to 0$。 $x$ 的任何正次幂都能压过对数：

   $\lim_{x\to 0^{+}}x^2\ln\frac1x=0\ \Longrightarrow\ \lim_{x\to 0^{+}}\ln L=0$

6. 6

   再取指数还原回去。 由于 $\ln L\to 0$ 而 $\exp$ 连续，

   $\lim_{x\to 0^{+}}L=e^{0}=1$

   数值上：$x=0.01$ 时值为 $1.000457$，$x=10^{-5}$ 时为 $1.0000000012$——确实在收敛到 $1$ ✓。双侧极限不存在，因为函数在 $0$ 的左边根本没有定义。