计算 −5x + 5yz 在区域 E 上的三重积分，其中 1 ≤ x ≤ 2，0 ≤ y ≤ 5 − 5x，0 ≤ z ≤ −x − 2y − 5。

Step-by-step solution

1. 1

   先看出积分限是退化的，再决定这意味着什么。 当 $x$ 在 $(1,2]$ 中时，题给的 $y$ 的上限 $5-5x$ 是负的，落在下限 $0$ 之下；$z$ 也一样，它的上限 $-x-2y-5$ 同样是负的。所以按字面写出来的这个区域作为立体是空集，题目应当理解为「按这组限写出的累次积分」，其中方向反了的那一段以相反的符号计入。

2. 2

   先对 z 积分。 记 $Z=-x-2y-5$，则 $\int_0^{Z}(-5x+5yz)\,dz=-5xZ+\frac{5y}{2}Z^2$。代入并展开得 $10y^3+10xy^2+50y^2+\frac52x^2y+35xy+\frac{125}{2}y+5x^2+25x$。

3. 3

   对 y 从 0 积到 5 − 5x。 求出原函数再代入那个（为负的）上限，得到外层被积函数 $\frac{14125}{12}x^4-\frac{20200}{3}x^3+\frac{28425}{2}x^2-\frac{39250}{3}x+\frac{53125}{12}$。

4. 4

   对 x 求原函数。 这个四次式的 $\int$ 是 $\frac{2825}{12}x^5-\frac{5050}{3}x^4+\frac{9475}{2}x^3-\frac{19625}{3}x^2+\frac{53125}{12}x$。

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   从 x = 1 算到 x = 2。 原函数在两个端点处的差是 $\frac{25}{2}=12.5$。尽管被积函数 $-5x+5yz$ 在这段范围里大部分时候都是负的，结果却是正的——因为两处反向的积分方向让符号翻转了两次。

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   数值检验。 把同一个累次积分照原样（内层反向的范围保持不动）作数值计算，得到 $12.500000$，与 $\frac{25}{2}$ 吻合。

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   与一个常见的错误答案作对照。 流传较广的一份解答报出 $-\frac{40625}{72}\approx -564.2$；这个值过不了数值检验，可见反向积分限的符号处理必须格外当心。