计算二重积分 ∬ y dA，积分区域为 −1 ≤ x ≤ 1，x² ≤ y ≤ 1。

Step-by-step solution

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   先弄清积分区域。 对 $[-1,1]$ 中的每个 $x$，竖直切片从抛物线 $y=x^2$ 一直到直线 $y=1$。两条曲线相交于 $x^2=1$，即 $x=\pm 1$，所以这个区域正是抛物线与那条水平线围成的部分 —— 闭的、有界的，而且关于 $y$ 轴对称。

2. 2

   先对 $y$ 积分，因为积分限依赖于 $x$。

   $\int_{x^2}^{1} y\,dy=\left[\frac{y^2}{2}\right]_{y=x^2}^{y=1}=\frac{1}{2}-\frac{\left(x^2\right)^2}{2}=\frac{1-x^4}{2}$

   注意 $\left(x^2\right)^2=x^4$，不是 $x^2$ —— 把积分下限平方这一步，正是四次项的来源。

3. 3

   利用偶函数的对称性省一半功夫。 函数 $\tfrac{1-x^4}{2}$ 是偶函数，所以

   $\int_{-1}^{1}\frac{1-x^4}{2}\,dx=2\int_0^1\frac{1-x^4}{2}\,dx=\int_0^1\left(1-x^4\right)dx$

4. 4

   算完外层积分。

   $\int_0^1\left(1-x^4\right)dx=\left[x-\frac{x^5}{5}\right]_0^1=1-\frac15=\frac45$

5. 5

   换形心的角度检验一下。 该区域的面积是 $\int_{-1}^1\left(1-x^2\right)dx=2-\tfrac23=\tfrac43$。由于 $\iint y\,dA=\bar y\cdot\text{面积}$，答案意味着形心高度为

   $\bar y=\frac{4/5}{4/3}=\frac{3}{5}=0.6$

   这个值很合理：区域在 $y=1$ 附近最宽，往下收缩到 $y=0$ 处的一点，所以质心理应高于中点 $y=0.5$ $\checkmark$。