计算累次积分：内层对 x 从 √(1 − y²) + 1 积到 y，外层对 y 从 0 积到 1，被积函数是 (y − x)。

Step-by-step solution

1. 1

   先把 $y$ 当常数，做关于 $x$ 的内层积分。 $y-x$ 关于 $x$ 的原函数是

   $yx-\frac{x^2}{2}$

   注意在 $[0,1]$ 上，下限 $\sqrt{1-y^2}+1$ 至少是 $1$，而上限 $y$ 至多是 $1$，也就是说上下限“反着”排。这没问题：牛顿-莱布尼茨公式照样成立，只是会带出一个负号，我们保留它，不去交换上下限。

2. 2

   在两个端点处取值。 在 $x=y$ 处：$y^2-\tfrac{y^2}{2}=\tfrac{y^2}{2}$。在 $x=\sqrt{1-y^2}+1$ 处，先把平方展开：

   $\left(\sqrt{1-y^2}+1\right)^2=(1-y^2)+2\sqrt{1-y^2}+1=2-y^2+2\sqrt{1-y^2}$

   于是下限处的值是 $y\sqrt{1-y^2}+y-1+\tfrac{y^2}{2}-\sqrt{1-y^2}$。

3. 3

   相减，注意 $y^2/2$ 项会互相抵消。 内层积分化简成

   $1-y+\sqrt{1-y^2}-y\sqrt{1-y^2}$

   这个抵消正是本题的关键：原本一堆带根号的乱式子，现在变成了四个初等部分。

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   对 $y\in[0,1]$ 逐块积分。

   $\int_0^1(1-y)\,dy=\frac12$

   $\int_0^1\sqrt{1-y^2}\,dy=\frac{\pi}{4}\quad\text{（四分之一单位圆的面积）}$

   $\int_0^1 y\sqrt{1-y^2}\,dy=\frac13\quad\text{（令 }u=1-y^2\text{）}$

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   合并并做数值检验。

   $\frac12+\frac{\pi}{4}-\frac13=\frac{\pi}{4}+\frac16$

   数值上 $\pi/4+1/6=0.9520648300641$。在 $y$ 方向取 200 万个网格点求内层积分再平均，得到 $0.9520648300642$——吻合到小数点后十二位 ✓。