求 n 从 1 到无穷、通项为 1 除以 [√(n+1)(n+2) + (n+1)√(n+2)] 的级数之和。

Step-by-step solution

1. 1

   先把分母因式分解。 按 $n+2=\sqrt{n+2}\cdot\sqrt{n+2}$ 和 $n+1=\sqrt{n+1}\cdot\sqrt{n+1}$ 改写，分母就变成 $\sqrt{n+1}\sqrt{n+2}\left(\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}\right)$——这个形状光靠展开是永远看不出来的。

2. 2

   把剩下的根式之和有理化。 分子分母同乘 $\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}$；由于 $\left(\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}\right)\left(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}\right)=1$，通项变成 $\frac{\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1}\sqrt{n+2}}$。

3. 3

   把分数拆开。 分子的两部分各自除以分母，得到 $\frac{1}{\sqrt{n+1}}-\frac{1}{\sqrt{n+2}}$——一个干净利落的裂项之差。

4. 4

   写出前 N 项和。 $S_N=\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{N+2}}$，因为中间每一项都与相邻项抵消掉了。

5. 5

   取极限。 当 $N\to\infty$ 时 $\frac{1}{\sqrt{N+2}}\to 0$，所以级数和是 $\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.7071$。

6. 6

   数值验证。 把前 $2\times10^{6}$ 项加起来得 $0.7063997$，而闭式给出 $\frac{1}{\sqrt2}-\frac{1}{\sqrt{2000002}}=0.7063997$——完全吻合，连那条收敛很慢的尾巴都对得上。