求 cos(2x) 关于 x 的不定积分。

Step-by-step solution

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   先猜出形状，再把常数定下来。 $\cos$ 的原函数是 $\sin$，所以答案必然长成 $A\sin2x$ 的样子。把这个猜测求导：$\dfrac{d}{dx}\left(A\sin2x\right)=2A\cos2x$。要它等于 $\cos2x$，就得有 $2A=1$，即 $A=\tfrac12$。这个 $\tfrac12$ 不是摆设 —— 它专门用来抵消链式法则带出来的那个 $2$。

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   再规规矩矩用换元法做一遍。 令 $u=2x$，则 $du=2\,dx$，$dx=\tfrac12\,du$：

   $\int\cos2x\,dx=\int\cos u\cdot\frac12\,du=\frac12\int\cos u\,du=\frac12\sin u+C$

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   把 u 换回去。

   $\int\cos2x\,dx=\frac12\sin2x+C$

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   写出一般规律。 对任何非零常数 $a$，

   $\int\cos ax\,dx=\frac{1}{a}\sin ax+C$

   前面那个因子永远是内层系数的倒数。同样的规律给出 $\int\sin ax\,dx=-\tfrac1a\cos ax+C$。

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   说说最常犯的错。 写成 $\sin2x+C$（漏掉 $\tfrac12$）或 $2\sin2x+C$（把倒数写反了），是两种典型错法。把答案求个导，五秒钟就能把它们都揪出来。

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   求导验证。 $\dfrac{d}{dx}\left(\tfrac12\sin2x\right)=\tfrac12\cdot2\cos2x=\cos2x$ ✓。数值上，在 $x=0.3,\ 1.4,\ -0.9$ 处对 $\tfrac12\sin2x$ 取对称差商，与 $\cos2x$ 吻合到小数点后五位 ✓。