求 y = sin^2(x) 的导数。

Step-by-step solution

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   先把记号读对。 $\sin^2 x$ 表示 $\left(\sin x\right)^2$，而不是 $\sin\left(x^2\right)$。外层函数是平方，内层函数是正弦；一旦读反，得到的会是 $2x\cos(x^2)$，那是完全不同的答案。

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   用显式换元写出链式法则。 令

   $u=\sin x\ \Longrightarrow\ y=u^2$

   于是链式法则给出

   $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=2u\cdot\frac{du}{dx}$

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   对内层函数求导。

   $\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$

   （这里弧度制很重要：$\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$ 只在弧度制下成立。）

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   回代。

   $\frac{dy}{dx}=2\sin x\cos x$

   注意必须把 $u$ 换回 $\sin x$ —— 把答案停在 $2u\cos x$ 是不完整的。

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   用二倍角公式改写。 因为 $\sin 2x=2\sin x\cos x$，所以

   $\frac{dy}{dx}=\sin 2x$

   两种形式都对；紧凑的那个能一眼看出零点在 $x=\tfrac{k\pi}{2}$。

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   数值验证。 在 $x=0.7$ 处中心差商给出 $0.98544973$，而 $\sin(1.4)=0.98544973$ ✓。再做一个结构性检验：$y=\sin^2x$ 在 $x=0,\pi$ 处取极小、在 $x=\tfrac\pi2$ 处取极大，而 $\sin 2x$ 恰好在这些点上为零。