求 (1 − x)^k 在 x = 0 处的泰勒级数，其中 k 为任意实数，并给出通项和收敛半径。

Step-by-step solution

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   用广义二项式定理，别硬求导。 原则上麦克劳林级数就是 $\sum\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}$，但手算 $f^{(n)}(x)=(-1)^{n}k(k-1)\cdots(k-n+1)(1-x)^{k-n}$ 实在太费劲。二项级数把同样的结果直接打包好了：

   $(1+t)^{k}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{k}{n}t^{n},\qquad \binom{k}{n}=\frac{k(k-1)\cdots(k-n+1)}{n!},$

   它对 $|t|<1$ 和任意实数 $k$ 都成立——不只是非负整数。

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   代入 $t=-x$。 要做的调整只有这一步：

   $(1-x)^{k}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{k}{n}(-x)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\binom{k}{n}x^{n}.$

   展开式里所有的符号变化，源头都是这个 $(-1)^{n}$ 因子。

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   把前几项写开看看。 把系数展开：

   $(1-x)^{k}=1-kx+\frac{k(k-1)}{2!}x^{2}-\frac{k(k-1)(k-2)}{3!}x^{3}+\cdots$

   拿熟悉的情形对照一下：取 $k=-1$ 时每个系数 $(-1)^{n}\binom{-1}{n}$ 都等于 $1$，正好还原出几何级数 $\frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+\cdots$ ✓。

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   留意级数什么时候会截断。 若 $k$ 是非负整数，因子 $(k-n)$ 会让所有 $n>k$ 的 $\binom{k}{n}=0$，求和就此停住，退化成我们熟悉的有限项二项展开——例如 $(1-x)^{3}=1-3x+3x^{2}-x^{3}$。对其它任何 $k$，级数都是真正无穷的。

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   给出收敛半径并做数值验证。 由比值判别法，$\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\left|\frac{k-n}{n+1}\right||x|\to|x|$，所以级数在

   $|x|<1$

   内收敛，在 $|x|>1$ 时发散；端点处的表现取决于 $k$（当 $k>0$ 时两端都收敛）。取 $k=2.5$、$x=0.3$ 做数值检验：求前六十项得 $0.409963413001697$，而 $(0.7)^{2.5}=0.409963413001697$ ✓。