计算 1/(√x · √(x+1)) 关于 x 的积分。

Step-by-step solution

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   找一个能同时消掉两个根号的换元。 难点在于 $\sqrt{x}$ 和 $\sqrt{x+1}$ 同时出现。恒等式 $\cosh^{2}t-\sinh^{2}t=1$ 处理的正是这种搭配，所以令

   $x=\sinh^{2}t$

   于是 $\sqrt{x}=\sinh t$，$\sqrt{x+1}=\sqrt{\sinh^{2}t+1}=\cosh t$——两个根号一举都变成了初等函数。

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   算出微分。 由链式法则，

   $dx=2\sinh t\cosh t\,dt$

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   代入，看着它们统统约掉。

   $\int\frac{1}{\sinh t\cosh t}\cdot2\sinh t\cosh t\,dt=\int2\,dt=2t+C$

   整个被积函数塌缩成一个常数——这是换元选得好不过的最强信号。

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   把换元还原回去。 由 $x=\sinh^{2}t$ 且 $t\ge0$ 得 $\sinh t=\sqrt{x}$，于是 $t=\operatorname{arsinh}\sqrt{x}$，从而

   $\int\frac{dx}{\sqrt{x}\sqrt{x+1}}=2\operatorname{arsinh}\sqrt{x}+C$

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   给出对数形式。 用 $\operatorname{arsinh}u=\ln\left(u+\sqrt{u^{2}+1}\right)$，取 $u=\sqrt{x}$：

   $2\operatorname{arsinh}\sqrt{x}=2\ln\!\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\right)$

   在 $x=0.3$、$1$、$4$ 处两种写法的差别不超过 $10^{-13}$ ✓。对数形式往往更受欢迎，因为它不需要用到反双曲函数。

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   求导验证。 对 $2\operatorname{arsinh}\sqrt{x}$ 作数值求导，在 $x=0.3$、$1$、$4$ 处与 $\dfrac{1}{\sqrt{x}\sqrt{x+1}}$ 的误差在 $10^{-5}$ 以内 ✓。符号上，对 $2\ln\left(\sqrt x+\sqrt{x+1}\right)$ 求导得 $\dfrac{2}{\sqrt x+\sqrt{x+1}}\left(\dfrac{1}{2\sqrt x}+\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}\right)$，化简后正是被积函数 ✓。定义域是 $x>0$。