求由 y = x² 与 x = y² 围成的区域绕 y 轴旋转所得旋转体的体积，用圆盘/垫圈法计算。

Step-by-step solution

1. 1

   先求两条曲线的交点。 把 $x=y^2$ 代入 $y=x^2$ 得 $y=y^{4}$，即 $y(y^{3}-1)=0$，于是 $y=0$ 或 $y=1$。两条曲线交于 $(0,0)$ 与 $(1,1)$，所以整个区域落在单位正方形内。

2. 2

   因为旋转轴是 y 轴，所以要对 y 积分。 垂直于 $y$ 轴的垫圈是水平的，因此两条边界都必须写成用 $y$ 表示的 $x$：

   $y=x^{2}\ \Rightarrow\ x=\sqrt{y}\ \ (\text{右侧，即外边界}),\qquad x=y^{2}\ \ (\text{左侧，即内边界})$

   在 $0<y<1$ 上有 $\sqrt y>y^{2}$（例如取 $y=\tfrac14$：$0.5>0.0625$），这就确认了哪一条是外边界。

3. 3

   列出垫圈法的积分。 垫圈的半径就是到 $y$ 轴的水平距离：

   $V=\pi\int_{0}^{1}\left[\left(\sqrt y\right)^{2}-\left(y^{2}\right)^{2}\right]dy=\pi\int_{0}^{1}\left(y-y^{4}\right)dy$

4. 4

   求值。

   $V=\pi\left[\frac{y^{2}}{2}-\frac{y^{5}}{5}\right]_{0}^{1}=\pi\left(\frac12-\frac15\right)=\pi\cdot\frac{3}{10}$

   $\boxed{V=\dfrac{3\pi}{10}\approx 0.942}$

5. 5

   用柱壳法交叉验证。 绕 $y$ 轴的柱壳要对 $x$ 积分，半径为 $x$、高为 $\sqrt x-x^{2}$：

   $V=2\pi\int_{0}^{1}x\left(\sqrt x-x^{2}\right)dx=2\pi\int_{0}^{1}\left(x^{3/2}-x^{3}\right)dx=2\pi\left(\frac25-\frac14\right)=2\pi\cdot\frac{3}{20}=\frac{3\pi}{10}$

   两种彼此独立的方法结果一致——这是对积分限和内外半径选择所能做的最强检验。