对 sin(a · ln(x)) / xᵇ 关于 x 求不定积分，其中 a 和 b 是常数。

Step-by-step solution

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   先作换元 $u=\ln x$，把对数从正弦里面拿出来。 此时 $x=e^{u}$，$dx=e^{u}du$，于是

   $\int\frac{\sin(a\ln x)}{x^{b}}dx=\int\frac{\sin(au)}{e^{bu}}e^{u}\,du=\int e^{(1-b)u}\sin(au)\,du$

   原本对数和幂函数混在一起很别扭，换元之后就成了经典的「指数乘正弦」积分。

2. 2

   回忆这个标准结论。 对不同时为零的常数 $k$ 和 $a$，

   $\int e^{ku}\sin(au)\,du=\frac{e^{ku}\left(k\sin(au)-a\cos(au)\right)}{k^{2}+a^{2}}+C$

   它的证法是分部积分两次，然后把得到的等式当成方程解出这个积分——积分本身会在等号右边重新出现，所以不需要再积第三次。

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   取 $k=1-b$ 代进去。

   $\int e^{(1-b)u}\sin(au)\,du=\frac{e^{(1-b)u}\left[(1-b)\sin(au)-a\cos(au)\right]}{(1-b)^{2}+a^{2}}+C$

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   换回原变量，用 $e^{(1-b)u}=x^{1-b}$ 和 $u=\ln x$。

   $\int\frac{\sin(a\ln x)}{x^{b}}dx=\frac{x^{1-b}\left[(1-b)\sin\left(a\ln x\right)-a\cos\left(a\ln x\right)\right]}{(1-b)^{2}+a^{2}}+C$

   这个公式要求 $(1-b)^2+a^2\ne 0$，也就是 $a=0$ 与 $b=1$ 不能同时成立。

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   验证特殊情形，再做数值检验。 当 $b=1$ 时积分退化为 $\int\tfrac{\sin(a\ln x)}{x}dx$，公式给出 $\tfrac{-a\cos(a\ln x)}{a^2}=-\tfrac{\cos(a\ln x)}{a}$，和直接用 $u=\ln x$ 算出来的完全一致 $\checkmark$。数值上取 $a=1.7$、$b=0.4$，在 $x=0.7,\,1.3,\,2.5,\,4.0$ 处对一般原函数求导，能还原被积函数到小数点后八位 $\checkmark$。