求 ln(100x¹⁰⁰ + 5x + 3) / ln(2x²⁰ + 3x² − 2) 当 x 趋于无穷时的极限。

Step-by-step solution

1. 1

   先判断类型。 两个对数都趋于 $+\infty$，所以这个商是 $\tfrac{\infty}{\infty}$ 型。用洛必达法则当然做得下去，但会滚出一堆有理函数；利用 $\ln$ 本身的结构要干净得多。

2. 2

   把每个多项式换成它的最高次项。 当 $x\to\infty$ 时，

   $100x^{100}+5x+3\sim100x^{100},\qquad2x^{20}+3x^{2}-2\sim2x^{20}$

   在对数里做这种替换是合法的，因为被舍掉的部分只贡献 $\ln\left(1+o(1)\right)\to0$，那是一个会消失的加性项，而不是乘性误差。

3. 3

   用 $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ 把每个对数拆开。

   $\ln\left(100x^{100}\right)=\ln100+100\ln x,\qquad\ln\left(2x^{20}\right)=\ln2+20\ln x$

   指数被拉了下来，变成 $\ln x$ 的倍数——次数 $100$ 与 $20$ 正是在这里接管全局的。

4. 4

   分子分母同除以 $\ln x$。 因为 $\ln x\to\infty$：

   $\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{\ln100}{\ln x}+100}{\frac{\ln2}{\ln x}+20}=\frac{0+100}{0+20}=5$

   首项系数 $100$ 与 $2$ 彻底消失了——在对数里，一个常数因子只不过是一个加性常数，跟 $\ln x$ 相比可以忽略不计。

5. 5

   给出一般规律并验证。 对次数分别为 $p$ 与 $q$ 的两个多项式，对数之比的极限就是 $\tfrac{p}{q}$——这里 $\tfrac{100}{20}=5$ ✓。数值上，$x=10$ 时式子给出 $5.0244$，$x=100$ 时给出 $5.0123$，$x=10^{10}$ 时给出 $5.0025$，$x=10^{100}$ 时给出 $5.00025$ ✓——收敛很慢但方向毫不含糊，趋向 $5$；而这种缓慢正是对数型极限的典型特征。