已知 F(x) 是 dx/(2x + 1) 的不定积分，且 F(0) = 0，求 F((e² − 1)/2)。

Step-by-step solution

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   用换元 $u=2x+1$ 积分。 被积函数是一个一次式的倒数，一个线性换元就能把它化掉：

   $u=2x+1,\qquad du=2\,dx,\qquad dx=\frac{du}{2}$

   $F(x)=\int\frac{1}{u}\cdot\frac{du}{2}=\frac{1}{2}\ln|u|+C=\frac{1}{2}\ln|2x+1|+C$

   前面那个 $\tfrac12$ 就是把内层求导多出来的因子还回去；漏掉它是这一类积分里最常犯的错。

2. 2

   用初始条件把常数钉死。 代入 $x=0$：

   $F(0)=\frac{1}{2}\ln|1|+C=0+C$

   而题目给的 $F(0)=0$ 迫使

   $C=0\qquad\Longrightarrow\qquad F(x)=\frac{1}{2}\ln|2x+1|$

   正是这个条件，把原本一整族原函数收成了唯一确定的一个函数。

3. 3

   先化简自变量，再往里代。 当 $x=\dfrac{e^2-1}{2}$ 时，

   $2x+1=2\cdot\frac{e^2-1}{2}+1=(e^2-1)+1=e^2$

   这个看着别扭的输入就是被设计成让 $2x+1$ 正好塌成 $e^2$ 的——对数里面的东西一定要先化简。另外 $e^2>0$，所以绝对值在这里不起作用。

4. 4

   求值。 用 $\ln(e^2)=2$：

   $F\!\left(\frac{e^2-1}{2}\right)=\frac{1}{2}\ln\left(e^2\right)=\frac{1}{2}\cdot 2=1$

   $\boxed{1}$

5. 5

   换成定积分再核一遍。 因为 $F(0)=0$，这个答案同时也是

   $\int_0^{(e^2-1)/2}\frac{dx}{2x+1}=\left[\frac{1}{2}\ln(2x+1)\right]_0^{(e^2-1)/2}=\frac{1}{2}(2-0)=1$

   数值上，积分上限 $\approx 3.1945$，而 $\tfrac12\ln(2\cdot 3.1945+1)=1.0000$，与结果一致。