求当 x 趋于 3 时 (x² + 2x − 15)/(x² − 9) 的极限。

Step-by-step solution

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   先试直接代入，再读懂结果。 把 $x=3$ 代进分子和分母得

   $\frac{9+6-15}{9-9}=\frac{0}{0}$

   $\tfrac00$ 是未定式，而不是「没有定义」：它其实在提示分子分母共有因式 $(x-3)$，而这个因式可以约掉。

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   把分子分解因式。 需要两个数，积为 $-15$、和为 $+2$，也就是 $+5$ 与 $-3$：

   $x^2+2x-15=(x+5)(x-3)$

3. 3

   分母用平方差公式分解。

   $x^2-9=(x-3)(x+3)$

   两个分解式里都出现了 $(x-3)$，印证了第一步的判断。

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   约去公因式。 当 $x\ne 3$ 时，这个分式等于

   $\frac{(x+5)(x-3)}{(x-3)(x+3)}=\frac{x+5}{x+3}$

   这里之所以能约，是因为 $x\to 3$ 的极限从不使用 $x=3$ 那一点的值，只看它附近的值，而在附近 $x-3\ne 0$。

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   把 $x=3$ 代入化简后的式子。 化简后的函数在 $x=3$ 处是连续的：

   $\frac{3+5}{3+3}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$

   从数值上看，$x=2.9999$ 时原式为 $1.33334$，$x=3.0001$ 时为 $1.33333$，都在向 $4/3\approx 1.3333$ 收拢。