交换积分次序并求值：被积函数为 e^(y³)，x 从 0 到 2，y 从 (2x) 的平方根到 2。

Step-by-step solution

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   先看清给定的次序为什么是死路。 内层积分要算 $\int e^{y^3}\,dy$，而 $e^{y^3}$ 没有初等原函数。这里交换次序不是写法上的偏好，而是唯一能算到底的办法 —— 因为先对 $x$ 积分会多出一个因子 $y^2$，而它恰好就是换元 $u=y^3$ 所需要的。

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   从积分限还原出积分区域。 积分限说的是 $0\le x\le 2$ 且 $\sqrt{2x}\le y\le 2$。下边界 $y=\sqrt{2x}$ 是抛物线 $y^2=2x$ 的右半支，即 $x=\dfrac{y^2}{2}$。注意在 $x=2$ 处下限已经等于上限 $y=2$，区域正好在那里闭合。

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   改成横着切。 对固定在 $0$ 与 $2$ 之间的 $y$，区域从左边界 $x=0$ 一直伸到抛物线 $x=\dfrac{y^2}{2}$。于是

   $R=\left\{(x,y):0\le y\le 2,\ 0\le x\le \tfrac{y^2}{2}\right\},\qquad \int_0^2\!\!\int_0^{y^2/2} e^{y^3}\,dx\,dy.$

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   先算内层积分。 $e^{y^3}$ 关于 $x$ 是常数，所以它只是乘上这一条切片的宽度：

   $\int_0^{y^2/2}e^{y^3}\,dx=\frac{y^2}{2}\,e^{y^3}.$

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   换元 $u=y^3$。 这时 $du=3y^2\,dy$，即 $y^2\,dy=\tfrac{du}{3}$，积分限 $y=0,2$ 相应变成 $u=0,8$：

   $\int_0^2\frac{y^2}{2}e^{y^3}\,dy=\frac{1}{6}\int_0^8 e^{u}\,du=\frac{1}{6}\left[e^u\right]_0^8=\frac{e^8-1}{6}.$

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   估一下量级做核对。 $\dfrac{e^8-1}{6}\approx 496.66$，而对原来的累次积分直接作数值计算同样给出 $496.66$，可见交换次序时区域没有描述错。