计算定积分 ∫ 从 x = −2 到 x = 2 的 (x² cos(x/2) + 1/2) 乘 √(4 − x²)，并给出数值。

Step-by-step solution

1. 1

   在加号处把积分拆开。 两部分的性质截然不同：

   $I=\underbrace{\int_{-2}^{2}x^{2}\cos\frac{x}{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx}_{J}+\frac12\int_{-2}^{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx.$

   先拆开，才不会把一个初等的面积和一个真正要动用特殊函数的积分混在一起。

2. 2

   容易的那一半用几何意义算。 在 $[-2,2]$ 上，$y=\sqrt{4-x^{2}}$ 的图像是半径为 $2$ 的上半圆，所以

   $\int_{-2}^{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx=\frac{\pi(2)^{2}}{2}=2\pi,\qquad \frac12(2\pi)=\pi.$

3. 3

   认出 $J$ 是一个贝塞尔矩。 泊松积分给出（记 $z=ab$）

   $\int_{-a}^{a}\sqrt{a^{2}-x^{2}}\cos(bx)\,dx=\frac{\pi a}{b}J_{1}(ab).$

   对 $b$ 求两次导会把 $-x^{2}$ 带下来，于是取 $a=2$、$b=\tfrac12$、$z=1$，再用恒等式 $\frac{d}{dz}\bigl(z^{-1}J_{1}\bigr)=-z^{-1}J_{2}$ 与 $\frac{d}{dz}\bigl(z^{-2}J_{2}\bigr)=-z^{-2}J_{3}$，得

   $J=\pi a^{4}\left(\frac{J_{2}(z)}{z^{2}}-\frac{J_{3}(z)}{z}\right)=16\pi\bigl(J_{2}(1)-J_{3}(1)\bigr).$

4. 4

   用递推关系化简。 由于 $J_{3}(1)=4J_{2}(1)-J_{1}(1)$，同一个量还可以写成

   $J=16\pi\bigl(J_{1}(1)-3J_{2}(1)\bigr).$

   代入 $J_{1}(1)=0.4400506$ 与 $J_{2}(1)=0.1149035$，得 $J=16\pi(0.0953401)=4.7923177$。

5. 5

   把两半加起来。

   $I=\pi+16\pi\bigl(J_{2}(1)-J_{3}(1)\bigr)=3.1415927+4.7923177=7.9339103.$

   对原被积函数做高精度数值积分得到 $7.933910333308135$，两者在十五位上完全吻合。一条常见的错路是写成 $J=8\pi J_{2}(1)-4\pi J_{1}(1)$，它算出来是 $-2.6420$，会给出 $I\approx 0.4996$——符号和量级都不对，因为这个组合并不是泊松公式对 $b$ 的二阶导数。