计算 x 乘以 e 的 −y² 次方，在区域 √y/3 ≤ x ≤ √y/2、0 ≤ y < ∞ 上的二重积分。

Step-by-step solution

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   先对 $x$ 积分——题目给的次序本来就是方便的那个。 区域的左右边界都是把 $x$ 表示成 $y$ 的函数，所以 $dx$ 该放在里层。而且对内层积分来说 $e^{-y^{2}}$ 只是个常数，这一点很关键：$e^{-y^{2}}$ 关于 $y$ 没有初等原函数，把它往后拖是必须的。

   $\int_{\sqrt y/3}^{\sqrt y/2} x\,dx=\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{\sqrt y/3}^{\sqrt y/2}.$

2. 2

   把方括号里的值算出来。 上下限一平方，根号就消失了：$(\sqrt y/2)^{2}=y/4$，$(\sqrt y/3)^{2}=y/9$。于是

   $\frac12\left(\frac{y}{4}-\frac{y}{9}\right)=\frac12\cdot\frac{9y-4y}{36}=\frac{5y}{72}.$

   也就是说，每一个 $y$ 处的横条被赋予了 $5y/72$ 这个权重，它关于 $y$ 是线性的——正是这个因子让外层积分变成了初等积分。

3. 3

   化成一个单重积分。

   $\int_{0}^{\infty}\frac{5y}{72}e^{-y^{2}}\,dy=\frac{5}{72}\int_{0}^{\infty}y\,e^{-y^{2}}\,dy.$

4. 4

   作换元 $u=y^{2}$。 此时 $du=2y\,dy$，即 $y\,dy=\tfrac12\,du$，而积分限 $y=0,\infty$ 变成 $u=0,\infty$：

   $\int_{0}^{\infty}y\,e^{-y^{2}}\,dy=\frac12\int_{0}^{\infty}e^{-u}\,du=\frac12\bigl[-e^{-u}\bigr]_{0}^{\infty}=\frac12.$

   这正是那个无穷上限在此不惹麻烦的原因：多出来的 $y$ 因子把高斯型积分变成了普通的指数积分。

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   把两个因子相乘，再做数值检验。

   $\frac{5}{72}\cdot\frac12=\frac{5}{144}.$

   对 $\int_{0}^{\infty}\tfrac{5y}{72}e^{-y^{2}}dy$ 用自适应数值积分得 $0.0347222222$，而 $5/144=0.034722\overline{2}$——十位数字完全吻合。