计算 x + 2y 在区域 1 ≤ x² + y² ≤ 4、y ≥ x、x ≤ 0 上的二重积分。

Step-by-step solution

1. 1

   区域由圆围成，所以换成极坐标。 令

   $x = r\cos\theta, \qquad y = r\sin\theta, \qquad dA = r\,dr\,d\theta$

   圆环条件立刻变成 $1 \le r \le 2$，与 $\theta$ 无关——正是这种变量分离，让这里的换元值得一做。

2. 2

   把第一个角度条件翻译过来。 $x \le 0$ 意味着 $r\cos\theta \le 0$，又因为 $r > 0$：

   $\cos\theta \le 0 \ \Longrightarrow \ \theta \in \left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$

   这就是左半平面。

3. 3

   把第二个角度条件翻译过来。 $y \ge x$ 意味着 $\sin\theta \ge \cos\theta$。把这个差写成单个正弦：

   $\sin\theta - \cos\theta = \sqrt{2}\,\sin\!\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right) \ge 0 \ \Longrightarrow \ \theta \in \left[\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right]$

   两个范围求交，得到这块楔形

   $\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{5\pi}{4}$

   张角为 $3\pi/4$。这个交集算错，是本题最主要的陷阱。

4. 4

   换算被积函数，同时带上雅可比因子。

   $(x + 2y)\,dA = r(\cos\theta + 2\sin\theta)\cdot r\,dr\,d\theta = r^2(\cos\theta + 2\sin\theta)\,dr\,d\theta$

   正是 $dA$ 多出来的那个 $r$，把 $r^1$ 变成了 $r^2$——漏掉它是极坐标里的经典错误。

5. 5

   积分可以分离，先做径向部分。 由于 $r$ 的上下限与 $\theta$ 无关：

   $\int_1^2 r^2\,dr = \left[\frac{r^3}{3}\right]_1^2 = \frac{8 - 1}{3} = \frac{7}{3}$

6. 6

   再做角度部分，然后合起来。

   $\int_{\pi/2}^{5\pi/4} (\cos\theta + 2\sin\theta)\,d\theta = \bigl[\sin\theta - 2\cos\theta\bigr]_{\pi/2}^{5\pi/4}$

   在 $\theta = 5\pi/4$ 处正弦和余弦都等于 $-\frac{\sqrt2}{2}$，代入得 $-\frac{\sqrt2}{2} + \sqrt2 = \frac{\sqrt2}{2}$；在 $\theta = \pi/2$ 处中括号里是 $1 - 0 = 1$。所以角度积分等于 $\frac{\sqrt2}{2} - 1$，于是

   $\iint_D (x+2y)\,dA = \frac{7}{3}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - 1\right) = \frac{7}{6}\left(\sqrt{2} - 2\right) \approx -0.6834$

   结果为负在意料之中：这块楔形大部分落在 $x < 0$ 的一侧。极坐标下的数值积分给出 $-0.68341751$，直接对原始直角坐标条件做蒙特卡洛检验给出 $-0.681$。